Mujić je rođen 25. travnja 1933. godine. Igrao je na mjestu napadača, a karijeru je započeo u Veležu gdje je sa 17 godina debitirao za prvu momčad.

 Za Velež je odigrao 212 utakmice, a u sezoni 1955/56 je bio i najbolji strijelac tadašnje lige Jugoslavije kada je postigao 21 pogodak.

 Bio je prvi igrač iz BiH koji je nosio kapetansku traku Jugoslavije, a dresu državne selekcije odigrao je 33 utakmice i postigao 17 golova  S reprezentacijom je na Olimpijadi u Australiji 1956. godine osvojio srebro, a igrao je i za reprezentaciju koja je 1962. godine na SP-u u Čileu osvojila četvrto mjesto.

Karijeru je završio u Veležu 1968. godine, gdje je kasnije bio trener i tehnički rukovoditelj.

 Osim Veleža, igrao je u Bordeauxu (1962-1963), a bio je član i Dinama (1964-1965) te belgijskog Beringena (1966).

 Točno vrijeme i mjesto pokopa Muhameda Mujića još nije poznato.

(FENA/dh)